随机波动率与期权定价模型浅析(3)
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Heston & Nandi模型：波动率历史记忆性的引入
事实上，尽管Heston模型在当前的金融工程领域已经得到了极大的重视，也因为其科学的理论假设得到业界的认可，但是该模型在校准参数与估计的过程中不可避免地会面临诸多问题，特别是对相关性的估计是一大难点。因此，业界另一个较为熟知的定价模型Heston & Nandi也越来越得到金融界人士的认可。其基本思路与T.Bollerslev(1986)提出的Garch模型有极大的关系。
Garch模型是一个专门针对金融数据量体定做的回归模型，除去和普通回归模型相同之处，Garch对误差的方差进行了进一步的建模。在对资产价格变动的刻画方面，波动率作为最重要的因素之一，一直都是学术与业界研究的重点，而波动率聚簇及自相关的一些特性也开始越来越受到关注。因此，在对这些特性准确捕捉的诸多模型中，Garch模型才成为应用最为广泛的计量方法。基于对波动率精确的估计与预测，Garch的建模思路得以在Heston & nandi模型中对波动率的评估提供重要的参数信息。
在Heston & nandi模型框架下，对于方差的变动是假设服从Garch（p，q）过程的，而模型具体参数的推导则又需要从到期日开始往前递归来完成。简单来说，模型的整体思路就是通过Garch过程模拟获得Garch参数后，以此为基础再通过递归推出Heston & nandi模型的参数，最终确定期权执行概率及期权价格。
通常来讲，Garch（1，1）比较符合资产价格的波动情况，也具有足够的显著性说明问题。与此同时，Heston & Nandi在其文献中也证明过随着到期日长度的增加，Garch（1，1）提供的参数所生成的结果会与Heston模型的结果趋于一致。
在Heston & Nandi模型框架下，对数回报应该符合Garch（1，1）过程。Heston & Nandi模型中峰度和方差的确定与Garch模型类似，只是在定价过程中，需要预设部分参数以进行递归运算。该模型期权的定价方式与之前Heston模型没有本质上的区别，但是在P的确定方面，Heston & Nandi模型需要进一步确定模型参数，最终寻得类似Heston模型P1、P2的结果进行定价。
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通过期权的隐含波动率推测其他执行价格的隐含波动率进行期权定价
上文就随机波动率相关的定价模型进行了讨论，不过其定价思路依然有一定的局限性，特别是在参数估计与计算的过程中，这导致模型的理论假设虽较为完备但运用复杂。所以在期权理论研究的相当长一段时间里，许多学者还就波动率微笑形态的变化进行了大量的工作。其中一个重要的结论在Skiadopoulos、Hodges和Clelow（2000）的论文中有提及，他们将行权价格和价值状态作为参数，通过PCA（主成分分析法）研究了在给定剩余到期时间下标普500指数隐含波动率的变化情况，他们将期权隐含波动率变化形态的研究推上了前台。
Alexander（2001）在此基础上进一步应用PCA对不同行权价期权的隐含波动率与评价隐含波动率的偏离程度变化进行了研究，她的研究结果表明隐含波动率微笑的平行移动、倾斜变化及曲率变化分别占到了波动率方差整体的65%—80%、5%—15%和5%。这意味着我们在期权定价的过程中，对波动率微笑形态的理解实质上是最为重要的。而对该形态的描绘我们可以参考Brown & Randall在《If the skew fits》一文中所提及的方法：引入波动率构建函数，使用三项来构成期权价格可使用的波动率形态，分别是平值期权隐含波动率以函数中心的性质确定大致的估计，然后处理对波动率的修正问题，以tanh非对称函数体现低执行价格期权高波动率和高执行价格低波动率的特点，其中对偏度影响最大的分项的宽度由指定参数确定，最后，以Sech对称函数来增加隐含波动率在深度实值与深度虚值状态下的波动率。如此一来，我们就可以通过流动性较好的期权隐含波动率引入skew的趋势及skew的程度最终得到修正后的深度实值到深度虚值波动率曲线，最终给各个执行价格期权定价。
该方法也允许我们了解整个期权跨执行价隐含波动率的形态特点，进而解释65%以上的期权隐含波动率变动。换句话说，当我们拥有一条合理的波动率微笑曲线，则在价格变动时只需要确定平值期权的隐含波动率就可以进而推测其他所有执行价格的隐含波动率，以进行期权定价。
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随机波动率类模型引入期权定价方法的展望
本文通过多个贴近市场模型的具体实现提供了一种新的期权定价解决思路，即使市场参与者没有获得期权市场价格的渠道，抑或在流动性不够充裕的情况下，也可以按照标的实时价格通过本文提及的模型计算相对应的期权价格作为参与市场的参考。最主要的是，考虑到资产价格回报的诸多特点，随机波动率类模型的引入克服了以往期权定价的诸多不足。
除此之外，随着业界对期权隐含波动率变化了解的加深，从形状特点入手解决期权问题的思路也在本文有所提及。从波动率曲面来看，我们可以通过分析期限结构和波动率偏离来指导我们对市场方向性的判断，关于波动率曲面的深入研究，不论是对期权本身特性的了解，还是对发现潜在套利机会以及制订交易策略，都有着重要的意义。受限于篇幅，本文未就多个模型的推导过程进行介绍，但考虑到模型存在闭式解，投资者可自行直接使用模型框架方面理解。
最后，笔者非常认可George Box说过的那句话“基本上，所有的模型都是错误的，但有些是有用的”，所以我们不应该痴迷于某种精巧的模型而过分信任甚至夸大其效果，而应该借助模型本身分析了解其推论背后的特点和逻辑帮助我们判断面临的情况。
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